Definición

La transformada de Laplace ha sido en los últimos años de gran importancia en los estudios de ingeniería, matemática, física, entre otras partes científicas, ya que además de ser de gran interés en lo teórico, proporciona una forma sencilla de resolver problemas que vienen de las ciencias e ingenierías.

 


Modelo Matemático 

  • Supongamos que estamos estudiando un determinado fenómeno. 
  • Dicho modelo estará formado por una o varias ecuaciones diferenciales con sus correspondientes condiciones iniciales o de contorno. 
  • El problema consiste en resolver dicho modelo matemático. 
  • Es ahora cuando intervienen las transformadas integrales, para transformar dicha ecuación diferencial en otra ecuación, la cual va a resultar más fácil de resolver que la ecuación diferencial de partida. 
  • De esta forma transformamos nuestro problema original complicado en un problema más sencillo.
  • Resolvemos el problema transformando y luego calculamos la transformada inversa de la solución del problema transformado con la esperanza de que esta solución inversamente transformada sea la solución de nuestro problema original.

Esquemáticamente, lo que se está diciendo se puede resumir en algo como:


La transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números positivos t ≥ 0, es la función:

 

Dónde:

f(t): es una función del tiempo 

F(s): es la transformada de Laplace 

s: es la variable de la transformada de Laplace 

t: es el tiempo 

Entonces, cuando la integral converge tenemos que: 

La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante. L la transformada de Laplace convierte una función t en una función en la variable s.

¿Porque usamos la transformada LaPlace?


Proporciona una forma sencilla de resolver problemas que vienen de las ciencias e ingenierías.

La transformada de Laplace existe si la integral anterior converge, en caso contrario se dice que la transformada de Laplace no existe.


Propiedades y Teoremas

 

Linealidad

 

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

 

Primer Teorema de Traslación

 

Donde:

 

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

 

Teorema de la transformada de la derivada

 

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral

 

Teorema de la integral de la transformada

 

Siempre y cuando exista

 

Teorema de la derivada de la transformada

 

Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitario entonces:

 

Segundo teorema de Traslación

 

Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

 

Teorema de la Convolución

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

 

Teorema Valor final

Si 𝑓(𝑡) y su derivada son transformables y si el límite de 𝑓(𝑡) cunado t tiende al infinito existe entonces:

 

Es decir, el comportamiento de 𝑓(𝑡) en las proximidades de 𝑡 = infinito está ligado al comportamiento de 𝑠𝐹(𝑠) en el entorno de 𝑠=0.

Teorema Valor inicial

Si la función 𝑓(𝑡) y su derivada son transformable y existe el límite de 𝑠𝐹(𝑠) para el tiempo tendiendo a infinito, entonces:

Inversión de la transformada de Laplace

Definición de transformada inversa de Laplace 

Sea una función F(s). Si existe una función f(t) que sea seccionalmente continua en el intervalo [0, ∞) y satisfaga la relación:

 

Entonces f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s).

Ejemplo: 

Determinar la transformada inversa de Laplace , donde:

 

Este método consiste en expresar una función F(s) de la forma P(s)/Q(s) (función racional), donde P(s) y Q(s) son polinomios en s, y donde el grado de P(s) es menor que el grado de Q(s). Debemos considerar tres casos:

 

Raíces Reales Diferentes

 

Raíces Reales Repetidas

 

Raíces Complejas O Factores Cuadráticos

 

3.2 Método De Factores Cuadráticos

 

Aplicación en la Industria

La transformada de Laplace es una técnica, empleada tanto en ingeniería como en ciencias, para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y condiciones iniciales. 

La transformada de Laplace se puede aplicar en:

  • La ingeniería electrónica.
  • La ingeniería química.
  • En la transportación. 
  • Ámbito doméstico.

EJEMPLO 

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psi. En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.

a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.

b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

1.- Objeto

a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. 

b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. 

2.- Esquema

3.- Cálculos

Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor


Dónde:  

  • Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior
  • (BTU/h °F ft2)  
  • ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)  
  • Cp: Capacidad calorífica (BTU/lb °F)  
  • tv: Temperatura del vapor (°F)
  • te: Temperatura del agua a la entrada (°F)
  • ts: Temperatura del agua a la salida (°F)
  • (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)
  • tref: Temperatura de referencia (°F)
  • w: Flujo de agua (lb/h)
  • m: Cantidad de agua dentro de tubos (lb) 
  • : Valores en condiciones estables
  • Tv , Ts , W: Variables de desviación

Linealizando

 

Evaluando en condiciones iniciales estables

 

Restando (2) de (3)

Utilizando variables de desviación

 

Aplicando la transformada con Laplace

 

Simplificando

 

Datos físicos  

  • Largo del intercambiador = 9 ft
  • Diámetro de coraza = 17 ¼’’ 
  • Flujo = 224 gal/min 
  • Temperatura de entrada =80°F 
  • Temperatura de salida = 185°F 
  • Presión de vapor =150psia. 
  • Número de tubos= 112 
  • Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’.
  • Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F
  • Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU
  • Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

Calculando las constantes

   

Función de transferencia

 

Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.



En caso de que la explicación dada no hubiese sido de gran comprensión dejamos aqui unos videos de apoyo, los cuales tratan más sobre el tema ya que por cuestiones de tiempo no se aclaran.



Referencia Bibliográfica

  • Figueroa M, G. (19 de Junio de 2015). Propiedades de la Transformada de Laplace . Obtenido de Ecuaciones Diferenciales: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node3.html
  • Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. (06 de Agosto de 2006). Transformada de LAPLACE. Obtenido de Mty ITESM: https://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
  • Zill, D. G. (2000). Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones de modelado (6.a ed.). Séneca 53, Col. Polanco, México, D. F., C. P. 11560: Thomson.
  • G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002, pp. 130-135.
  • G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja. 1er. cuatrimestre 2011, pp. 56-63